सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप (projection) क्या है?

यदि $A(3,4,5), B(4,6,3), C(-1,2,4)$ और $D(1,0,5)$ इस प्रकार हैं कि रेखाओं $DC$ और $AB$ के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\cos \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है और $PQR$ एक स्वेच्छ त्रिभुज है। यदि एक बिंदु $S$ शर्त $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OS}$ को संतुष्ट करता है,तो बिंदु $S$ है:

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c}=3(\vec{c} \times \vec{a})$ है। यदि $\vec{a} \cdot \vec{c}=130$ है,तो $\vec{b} \cdot \vec{c}$ का मान .................... है।

यदि सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के परिमाण क्रमशः $3, 4$ और $5$ हैं,और $\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}$ के लंबवत है,$\vec{b}, \vec{c} + \vec{a}$ के लंबवत है,और $\vec{c}, \vec{a} + \vec{b}$ के लंबवत है,तो $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathbb{R}^3$ में इकाई सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है। तब,$\left|\frac{\bar{a} \cdot \bar{a}}{\bar{a} \cdot \bar{b}} \cdot \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{\bar{b} \cdot \bar{b}}\right| + |\bar{a} \times \bar{b}|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।